| 很大程度上取决于数据的真实性、有效性、充足性以及投资经理的良好表现
凯利公式起源于上世纪60年代，原本是为了在信息传输过程中，降低噪音在通讯中的干扰，使噪音干扰引起错误的可能性降低到零，后来被人应用到赌场的投注比例和投资的资产配置上。本文在以上研究的基础上，将凯利公式运用到FOF/MOM中，但没有从具体的投资标的市场的收益率和波动率出发，而是基于CTA策略子基金业绩表现的稳定性，合理地规避风险，确定各种策略子基金的资产配置比例，以实现稳定的预期收益最大化。
A 凯利公式的起源
凯利公式最初为AT&T贝尔实验室物理学家约翰·拉里·凯利根据同事克劳德·艾尔伍德·香农于长途电话线杂讯上的研究所建立。凯利说明香农的信息论要如何应用于一名拥有内线消息的赌徒在赌马时的问题。赌徒希望决定最佳的赌金额，而他的内线消息不需完美，即可让他拥有优势。凯利的公式随后被香农的另一名同事爱德华·索普应用于21点游戏和股票市场中。
1955年6月，美国出现了一个极其有名的电视节目——“64000 Dollar Question”，答题者通过不断答对题来累积奖金。一时间该节目风靡全美，黄金时段收视率达到85%，而山寨节目也不断出现。
这样一个“问答秀”迅速吸引了场外下注来赌赢家的赌盘。由于这档节目在纽约录制，东海岸现场直播，而西海岸则有延时，所以当时的新闻爆出一些丑闻——西海岸的赌徒通过电话提前得知结果，赶在了西海岸直播前下注。
凯利看了新闻之后，想到这个如何使具备一定内幕消息(private wire)但是同时有一部分杂音(noise)的赌徒最大化长期获益的问题，可以使用他们实验室关于资讯学和噪音传递研究的公式来解决。于是，他以一个赛马的模型，推出了凯利公式的雏形。
凯利的理论是这样的，对于有一定内部消息的赛马人来说，第一个自然的想法当然是放入全部的资金，但是这样就会面临万一输掉血本无归的风险。而在凯利想要解决的这个问题中，任何一个时刻输掉全部资金显然是不符合最大化累积收益的需求的。
真正应该关心的是长期累积的收入(compounding return)，对于累积的收益来说，最后的结果只和输赢的局数有关，而和输赢的顺序无关，所以他推出了一个最佳的投入仓位比，来最大化长期的累积收益： ，其中 最优投入仓位比例，b=赔率=获胜收益/失败亏损，p=获胜概率=50%，q=失败概率=1-q=50%。
B 凯利公式的数学推导
假设存在一个赌局，胜率为p，押1元若获胜可以赢b元，若失败则输掉1元，即赔率为b。假设这赌局可不断地重复玩下去，且每次都压手上全部资金的比例f（例如f=60%），我们的工作是去决定这个f该选多少，使得在玩过多次赌局后，资金成长最快。
假设At表示玩到第t次赌局后的资金，我们分成下面两个情况讨论：情况A——若第t-1次赌局的结果为赢，则At=At-1(1+bf)；情况B——若第t-1次赌局的结果为输，则At=At-1(1-f)。
由于从当前时点进入下个时点，有且仅有以上两种情况，所以，我们可以说：只要下一个时间点赢，就将原来的资金乘上1+bf；只要下一个时间点输，就将原来的资金乘上1-f。
我们假设总共玩了T次。在T次的赌局里，赢了W次，输了L次，则T=W+L。因此，假设期初（t=0）手上的资金为 ，到时间点T的总资金可以表示如下：AT=A0(1+bf)w(1-f)z。
接下来要做的工作便是决定f的取值，使得AT可以最大化。推导过程如下：将原式两边同时除以A16，开T次方，然后同取对数得到：
 。
由于该赌局可以不断地重复玩下去，并且我们要最大化长期收益（geometric return），这里可以合理地假设T逼近无限大。因为胜率为p，那么此时 会无限接近于p，而 会无限接近于1-p，因此，有 。
上式右边对f求微分并使其等于0可以得到：  ，出f得：
 ，其中，q=1-p=失败概率。
C 国内外学者对凯利公式在投资中应用的研究
凯利公式在投资决策中的重点在于将投资资金的对数收益最大化。Thorp和Rotando（1992）证明了凯利模型在连续分布的情形下，财富增长速率存在唯一最大值，并认为投资者应该把大量资产长期投资于标普500指数。此后，Maclean、Thorp、Ziemba（2010）对凯利优化模型的优点和缺点以及理论和实践进行了全方位的分析。
国内关于凯利公式在投资领域应用的相关文献大多数围绕具体投资标的市场的表现来分析。例如虞堪（2013）将凯利公式的一般形态运用到期货行业的资金控制可行性中，并认为其有较好的指导作用。陆士节、杨朝军（2013）将服从对数正态分布的股票价格与凯利优化模型相结合，推导出了投资者个股投资的资产配置比例与投资者对个股投资收益率和标准差预测值之间的数学关系。完颜志翰（2015）将凯利公式运用到期权的各种套利组合中，根据最大收益和最大亏损的动态变化导致的赔率变化，适时选择进场与否以及资金配置。陈迪红、余睿（2015）将企业年金的投资范围概括为股票组合、债券组合两种类别，基于连续时间下的凯利策略进行资产配置建模，认为能够有效提高企业年金的投资收益水平。常江、吴新亚、李文龙（2016）在股票资产收益呈正态分布的假设下，通过采用推广到连续时间下凯利模型确定资产比例的思想，运用遗传算法求得了资产配置比例的近似最优解。
本文在以上研究的基础上，将凯利公式运用到FOF/MOM中。没有从具体的投资标的市场的收益率和波动率出发，而是从CTA策略子基金业绩表现的稳定性出发，合理地规避风险，确定各种策略子基金的资产配置比例，以实现稳定的预期收益最大化。
D 凯利公式在赌博中的应用
假如A和B玩赌大小的游戏，A给了B100块，B赌对了赚2块钱，赌错了输1块钱，那么B每次赌本金的百分之几能让自己的收益最大化呢？根据凯利公式 ，其中 =最优下注比例，b=赔率=2块/1块=2，p=获胜概率=50%，q=失败概率=1-q=50%，所以，B的最优下注比例应该是本金的25%。
凯利公式之所以在赌博中长期运用，一个关键因素就是，这并非是“一锤子买卖”，而是多次重复、资金可调配的长期策略，并不适用于赌一把就离场的情况。这和投资是同样的情况，理智的投资者不会做“一锤子买卖”。
另外，若是B一直和A玩赌大小，那么B将会一直按本金的25%下注，但若是A决定玩21点，赢了赚3块，输了亏2块，那么B的最优下注比例也会产生变化。这和金融市场的投资是一个道理。我们投资者作为“理性的赌徒”，不论参与股票、期货或是债券其中的哪一张“赌桌”，都不可能一直按25%的比例永远下注下去。不论是单个市场还是跨市场，胜率和赔率都在不停地变化，区别于赌大小和掷硬币，胜率永远都是50%。
所以，我们认为，凯利公式更适用于资金配置可动态调整的长期投资策略，例如FOF和MOM。
E 在FOF/MOM中的应用
假设我们要做一个以CTA策略为特色的FOF/MOM产品，并且通过前期的层层筛选选出了5只优秀的子基金，分别是ABCDE。母基金层面的设计思路为“CTA+固收”，子基金资金配置窗口期为1个月。这里设定子基金资金配置的窗口期非常重要，期限不同，回测出的子基金胜率及赔率都不一样。
我们搜集了5个子基金最近一年的净值数据，进行处理后可以得到以下用于衡量其表现的数据。
这里我们以月为单位，根据过去一年中12个月收益正负情况算出胜率。对于赔率的计算，我们用过去12个月中正收益月的平均收益率所谓每次“赌”赢赚取的“筹码量”，而用过去12个月中负收益月的平均收益率代表每次“赌”输所亏损的“筹码量”。这样算出5个子基金各自的“赔率”。
 这样根据凯利公式算出每个子基金各自的最优资金配置比例。那么问题来了，显然5只子基金的占比加起来远远超过100%，那要怎么来理解呢？我们继续回归“赌场”的逻辑。假如我和另外四个朋友一起去赌场，每人手里各有2000万筹码，分别玩5种不同的游戏，各自玩12把后将筹码汇总，让总利润最大化，那么每次应该投入多少的筹码呢？在这个例子当中，如果将我们五个人分别视作ABCDE五个子基金，而我们所有的筹码视作整个母基金的资产，那么不就是同样的逻辑了吗。只是在实际投资过程当中，我们每“赌”一把就是一个月，总共要“赌”一年。
假设我们期初有1个亿的资产，那么按照以上逻辑，每个子基金期初应该分配的资产为：
5只子基金加起来为6230万元，那么剩下的3770万元就进行固收类的投资。这个是投资相对于“赌博”的优势！在赌场，每次没有下注的筹码就只能“安静”地“躺”在桌上，而在金融市场，闲置资金却可以进行“安全垫”投资。
一个月后，我们会根据5只子基金的最新表现，更新最新的“胜率”和“赔率”，计算出最新的资金分配。这里需要注意一点，就算更新出来的数据没有变化，但整个FOF/MOM因为市值波动也有可能导致资金需要重新分配。
最后，根据凯利公式的本质，总结几点其在FOF/MOM资金配置中应用的关键：
第一，FOF/MOM的存续期限越长，或者窗口期越短，效果越显著。但是实际操作中，窗口期不可能太频繁，几乎最短就是一个月，大部分是一个季度。所以FOF/MOM的存续期越长越利于凯利公式的发挥。
第二，如果窗口期时间较长，比如为一个季度，则回测的期限尽量拉长，要保证数据点的充足率，否则测算出的“胜率”和“赔率”可能有严重偏差。
第三，用于投资安全垫的固收类资产一定要有足够的流动性，保证每个窗口期结束时，能够进行资金的调拨。
第四，凯利公式在FOF/MOM中的运用很大程度上取决于子基金数据的真实性、有效性、充足性以及投资经理表现的稳定性、连贯性、一致性。所以，前期子基金的尽调以及筛选扮演着举足轻重的角色。
（作者单位：格林大华期货资产管理部）
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