国债期货 转换期权价值测算

   国债期货的价值主要来源于两方面：一方面是标的物自身的价值以及相关持有成本与收益的调整；另一方面是国债期货中隐含的期权。由于标的物是名义标准券，而实际可交割券是满足一定条件的国债集合，空头方有权选择最便宜可交割券（CTD）进行交割。根据交易所的制度安排，国债期货通常赋予空头方两类交割期权，即选择最优债券进行交割与选择最佳时机进行交割的权利。前者一般被称作质量期权（quality option），而后者被称作时机期权（timing option）。在实践中，这两类期权常常相互结合以不同的形式存在，比如百搭牌期权（wild card option）、月末期权（end-of-month option）。
   以芝加哥期货交易所的10年期国债期货交割制度为例，交割过程持续三个工作日：申报日、通知日、交割日。在申报日，空头方正式通知交易所进行实物交割。由于申报交割意向的截止时间是在当日期货交易结束后的几小时，这种时间的滞后成为百搭牌期权的来源。交割过程中的第二日为通知日，在这一天，空方需要精确申报具体用于交割的国债，交易所将进入交割的多空双方进行配对。实际的交割则发生在接下来的交割日。国债期货采取滚动交割方式，第一申报日为交割月第一个工作日的前两个工作日，这意味着空头方可以在合约到期月的任一工作日进行交割，也意味着空头方约有16个工作日可行使百搭牌期权。10年期国债期货的交易在合约到期月结束前的第八个交易日中午12：00终止。在交易结束后，空头方仍有7个工作日进行交割，这形成了月末期权。在合约到期前，由于收益率水平变化、收益率曲线形状改变，或者受新发国债等因素的影响，CTD在合约到期时可能发生转换，这种期权被称为转换期权或质量期权。
   中金所5年期国债期货虽然同样采取“到期前滚动交割，到期后集中交割”的方式，但赋予空头方的各项期权要小得多。滚动交割从交割月第一个交易日开始，到最后交易日的前一交易日结束。进入交割月后，空头方可以提出交割申请（意向申报日），此后经历交券日、配对缴款日、收券日，从而完成整个交割过程。若空头方欲进行滚动交割，需要在意向申报日上午11：30之前提出交割申请，而此时期货交易并未结束，因此空头方不具有百搭牌期权。滚动交割结束后，在最后交易日仍未平仓的头寸进入集中交割。由于最后交易日后一个工作日即为交券日，且空头方需要在交券日上午11:30前申报交券信息和交券量，真正留给空头方选择交割券的时间不足一天，因此月末期权的行使时间极为短暂。
   总体而言，中金所5年期国债期货合约在交割制度的设计上不如美国10年期国债期货灵活，这使得空头方不具有百搭牌期权，月末期权也比较小，整体交割期权更多表现为转换期权。下文主要研究转换期权，我们将采取三种方法对其进行计量。

方法一：交割日Payoff法
   在研究国债期权的众多文献中，Hedge（1990）、Hemler（1990）均使用了交割日payoff法。这一测算方法基于CTD，原理如下：如果CTD在合约到期前发生了转换，比如由国债i转换为国债j，那么在交割日使用国债j交割获得的收入将比使用国债i交割获得的收入高，即产生一个溢价，这个溢价即为转换期权价值的体现；如果合约到期时CTD没有发生转换，则转换期权的价值为零。
   我们先根据IRR筛选出各时段的CTD，筛选结果显示在合约存续期间，CTD的转换并不频繁，这可能意味着转换期权的价值较小。假设交割在最后交易日进行，从而排除月末期权，选取最后交易日期货及现货市场的结算价，对仿真交易中已经交割过的4个合约进行测算，结果如表1所示。
   在TF1203、TF1212合约的存续期间，其对应的CTD并未发生变化，因此转换期权的价值为零。虽然TF1206、TF1209的CTD在交割前发生了转换，但测算出的到期实现期权价值仅为0.07元和0.04元（对应每百元面值），占期货价格的比重也不到0.1%。需要注意的是，由于在payoff法中使用了期货合约到期时的期货价以及现券价，本质上是一种事后的测算。下面我们将采取两种事前测算方法。

表1：各合约不同时段CTD及到期日溢价占面值比重（%）

方法二：理论定价模型测算法
   该方法基于国债期货的理论定价模型，反解出公式中含有的期权价值。不同于payoff法只能测算期货合约到期时已实现的期权价值，该方法可以测算期货合约到期前某一特定时点的国债期货转换期权价值。
   该方法的基本原理是，在完美资本市场条件以及到期时期货价格收敛至现货远期价格的假设下，如果两种交易策略具有相同的期末收入，则期初成本也应相同，否则便会产生套利机会。这里我们考虑两种策略。策略一：在T0时刻购买现券i，同时在期货市场做空期货进行套保，交割日为T1。策略二由三部分构成：第一，购买一个质量期权；第二，以无风险利率在现货市场投资，规模为期货到期发票价格在T0时刻的现值，到期日为T1；第三，在无风险市场投资，并使该投资产生的现金流入与现券i在[T0，T1]期间所支付的每一次利息相匹配。
   上述两种策略具有相同的期末现金流入量，因而其在期初的现金流出量也应相等。据此可推导出国债期货理论定价公式，并得到转换期权的理论价值为：
   国债期货质量期权的价值=现券购入成本-持有期间利息现值总和-期货发票价格现值
   该公式本质上是最便宜可交割国债（CTD）的净基差。如果空方选择在最后交割日交割，用该方法还可估算出包括转换期权和时机期权在内的全部期权价值。在收益率曲线为正的情况下，空方倾向于选择在最后可交割日交割，但中金所国债期货交割期权主要表现为转换期权，在此也同样假设交割日为最后交易日，忽略月末期权的价值。我们对中金所目前所有国债期货合约转换期权价值的测算结果如表2所示。
   从表2可以看出，基于期货理论价格模型测算出的转换期权价值也较小，大部分情况下均值不超过0.2%。不过，用该方法测算出的期权价值会出现负数，这主要是因为该方法采用的是实际的市场数据进行测算，由于市场噪声的存在，以及期货价格的不合理，会导致估计误差。方法本身并不存在技术性的瑕疵，我们对中金所所有国债期货合约的全部可交割券测算结果显示，合约对应的CTD券的期权价值在其所有可交割券中最小，并未与理论相悖。
   期货价格的不合理会导致估计误差，但反过来，我们可以通过测算出的期权价值来判断期货价格是否高估或低估。以TF1303合约为例，其CTD券100002.IB在交割前3个月的转换期权价值大于交割前6个月的转换期权价值，不符合理论估值。因为理论上随着到期日的临近，期货价格逐渐向CTD券远期价格收敛，国债期货内含期权价值会逐渐缩小，到期日时降至0。故TF1303合约在交割前3个月的期权价值被高估，期货价格被低估，期货价格有向上修正的需要。

表2：不同时点转换期权价值占面值比重

方法三：可转换资产的转换期权价值测算法
   关于可转换资产的转换期权价值的计量，最早可以追溯到1978年Margrabe的研究，当时他基于标的资产的几何布朗运动假设，给出了二元可转换资产的相互转换期权价值类似于B-S公式的闭合解（具体公式见Margrabe 1978）。Gay and Manaster（1984）就曾用Margrabe的这种方法对CBOT的小麦期货进行质量期权的价值测算。Hemler在1990年的国债期货质量期权的研究中，沿袭该方法但扩展至N种资产转换的复杂情形，发现可转换的资产越丰富，期权的价值就越高。可转换资产的转换期权价值法不可避免得用到了标的资产价格服从几何布朗运动假设，这主要是出于方便考虑的，虽然这与债券到期价格收敛于1、方差趋于零的特性不一致，但能获得闭合解，因此大为方便计算。而且可交割券都是至少4年后才到期，所以这些约束在此并不是非常重要。
   以TF1212为例，我们对其做合约到期日的BNOC情景分析，发现在利率变动较宽泛的一个幅度内，TF1212的CTD是在09附息国债27与12附息国债05间转换。由于CTD主要是在潜在的两个资产间转换，我们倾向于采用两种资产的情形来测算该合约的内涵转换期权价值，因为margrabe的二元资产转换模型提供了一个闭合解，这就使我们的测算工作大大简化。我们用现货净价减去持有收益再除以转换因子对资产价格进行处理，相当于将现货价格变成标准的5年期的扣除持有收益的净价格，从而将期限不同的可交割资产放在同一衡量标准下。CTD的确定可用该净价进行排序取最低者，其实道理类同于用BNOC来筛选CTD。参数设置上，波动率的周期我们选择了60个交易日。经测算，TF1212交割前三个月CTD由090027转换到120005的转换期权价值占百元面值比例等于0.3386%。同时我们也测算了090027与次CTD券090023间的转换期权价值，三个月前的期权价值占期货价值比例的均值为0.0395%，明显小很多。我们发现交割日前1个月的期权价值往往比交割日前3个月的期权价值要高，这主要是由于每个合约在最后一个季度成为主力合约后价格较为波动所致。实证表明，两个资产的期限跨度越大，调整后的资产价格差距越大，价格波动越大，则其转换期权的价值一般会更高些。
   为方便同另外两种方法比较，我们统一采用每个合约的CTD和次CTD的转换期权价值。但这种方法对数据的长度有所要求，所以当次CTD券数据长度不够时，我们采用第三CTD券，以此类推。该方法测出来的期权价值一般来说要比另外两种方法要高，但这种方法较之第二种方法的好处是，其期权价值不会为负值。测算结果如表3。
   通过期权价值的测算有助于发现期货定价的偏离和预测未来价格走势。为此，本文采用了三种方法进行测量。
   在中金所仿真交易中已交割过的4个合约中，只有TF1206、TF1209 CTD在交割前发生转换，利用payoff法测算出的到期实现的期权价值仅为0.07元和0.04元（对应每百元面值）。但该方法使用了期货合约到期时的期货价以及现券价，因此本质上是一种事后的测算。
   基于国债期货理论定价模型可测算出期货合约到期前任意特定时点的期权价值，测量均值大多数不超过0.2%。但由于该方法采用了实际的市场价格进行测算，市场噪声的存在，以及期货价格的不合理会导致估计误差。
   基于二元资产转换模型测算出的转换期权价值随着可转换资产跨度和波动率的提高而增加，其测量结果普遍较另外两种方法大，均值介于0.05%—0.19%。该方法较之第二种方法的好处是测量结果不会为负值。

表3：二元可转换资产的转换期权价值测算